Персональный сайт - переодичность функций с вики педии

Графики синуса и косинуса — периодических функций с периодом

T = 2π

Периоди́ческая фу́нкция ― функция, повторяющая свои значения через какой-то ненулевой период, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу фиксированного ненулевого числа (периода).

Все тригонометрические функции являются периодическими.

Содержание

[убрать]

[править]Определение

Пусть $M$ есть абелева группа (обычно предполагается $M=(\R,+)$ — вещественные числа с операцией сложения или $(\mathbb C,+)$ — комплексные числа). Функция $f: M \to N$ называется периодической с пери́одом $T \not= 0$ , если справедливо

$f(x+T) = f(x), \quad \forall x \in M$ .

Если это равенство не выполнено ни для какого $T \in M,\, T \not=0$ , то функция $f$ называется апериоди́ческой.

Если для функции $f: \mathbb C \to N$ существуют два периода $T_1, T_2\not= 0$ , отношение которых не равно вещественному числу, то есть $\frac{T_1}{T_2} \not\in \mathbb{R}$ , то $f$ называется двоякопериоди́ческой фу́нкцией. В этом случае значения $f$ на всей плоскости определяются значениями в параллелограмме, натянутом на $T 1, T 2$ .

[править]Замечание

Период функции определён неоднозначно. В частности, если $T$ — период, то и любой элемент $T'$ вида $T' = \underbrace{T+\cdots+T}_n$ , где $n \in \mathbb{N}$ — произвольное натуральное число, также является периодом.

Множество периодов образует аддитивную группу.

Однако если у множества периодов $\{T, T>0, T\in\mathbb{R}\}$ имеется наименьшее значение, то оно называется основным (или главным) периодом функции.

[править]Действия с периодическими функциями

Являются неверными (существуют контрпримеры) утверждения относительно суммы периодических функций:

Сумма 2 функций с соизмеримыми (даже основными) периодами $T 1$ и $T 2$ является функция с основным периодом НОК $(T 1, T 2)$ (правда просто периодом это число будет являться. Например, у функции f(x)=sin(2x)-sin(3x) основной период 12 $π$ , у функции g(x)=sin(3x) основной период 6 $π$ , а у суммы f(x)+g(x)=sin(2x) основной период, очевидно, 4 $π$ ).
Не существует периодической функции, не равной константе, у которой периодами являются несоизмеримые числа (например, у функции f(x), принимающей значения 1 при алгебраическом x и 0 в остальных случаях, любое алгебраическое число является периодом, а среди алгебраических чисел, конечно, есть и несоизмеримые).
Сумма 2 функций с несоизмеримыми периодами является непериодической функцией (например, функция f(x) из предыдущего примера, и функция g(x)=-f(x) имеют несоизмеримые периоды, но их сумма равна константе, а значит, является периодической функцией).

[править]Примеры

Вещественные функции синус и косинус являются периодическими с основным периодом $2π$ , так как

$\sin( x + 2\pi) = \sin x,\; \cos( x + 2\pi) = \cos x,\quad \forall x \in \mathbb{R}.$

Функция, равная константе $f (x) = const$ , является периодической, и любое число является её периодом. Главного периода не имеет.

Функция Дирихле является периодической, её периодом является любое рациональное число.

Функция $f(x) = x^2,\; x \in \mathbb{R}$ является апериоди́ческой.

[править]См. также

[править]Ссылки

Периодическая функция (Большая советская энциклопедия)

Периодическая функция