Вся информация с других сайтов... и не проверена...

Основные тригонометрические формулы

ФормулаДопустимые значения аргументаНомер
~ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \forall \alpha (1)
\operatorname{tg}^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\cos^2 \alpha} = \operatorname{sec}^2 \alpha \alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb Z (2)
\operatorname{ctg}^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\sin^2 \alpha} = \operatorname{cosec}^2 \alpha \alpha \neq \pi n, n \in \mathbb Z (3)

Формула (1) является следствием теоремы Пифагора. Формулы (2) и (3) получаются из формулы (1) делением на ~ \cos^2 \alpha и ~ \sin^2 \alpha соответственно.

[править]Формулы сложения аргументов

Формулы сложения аргументов
\sin \left( \alpha \pm \beta \right) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta (5)
\cos \left( \alpha \pm \beta \right) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta (6)
\operatorname{tg} \left( \alpha \pm \beta \right) = \frac{ \operatorname{tg} \alpha \pm \operatorname{tg} \beta}{1 \mp \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg}\beta} (7)
\operatorname{ctg} \left( \alpha \pm \beta \right) = \frac{ \operatorname{ctg} \alpha \operatorname{ctg} \beta \mp 1}{\operatorname{ctg} \beta \pm \operatorname{ctg}\alpha} (8)

Формула (7) получается при делении (5) на (6). А формула (8) — при делении (6) на (5)

[править]Формулы двойного угла

Формулы двойного угла выводятся из формул (5), (6) , (7) и (8), если принять, что угол β равен углу α:

Формулы двойного угла
\operatorname{sin} 2 \alpha = 2 {\sin \alpha}{\cos \alpha} (23)
\operatorname{cos} 2 \alpha = {\cos^2 \alpha} - {\sin^2 \alpha}
\operatorname{cos} 2 \alpha = 2 {\cos^2 \alpha} - 1 = 1 - 2 {\sin^2 \alpha} 		(24)
\operatorname{tg} 2 \alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha} (25)
\operatorname{ctg} 2 \alpha = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{2 \operatorname{ctg} \alpha}

[править]Формулы тройного угла

Формулы тройного угла
\sin 3\alpha = 3 \sin \alpha - 4 \sin^3\alpha \,
\cos 3\alpha = 4 \cos^3\alpha - 3 \cos \alpha \,
\operatorname{tg} 3\alpha = \frac{3 \operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}^3\alpha}{1 - 3 \operatorname{tg}^2\alpha}
\operatorname{ctg} 3\alpha = \frac{3 \operatorname{ctg}\alpha - \operatorname{ctg}^3\alpha}{1 - 3 \operatorname{ctg}^2\alpha}

[править]Формулы понижения степени

Формулы понижения степени выводятся из формул (24):

СинусКосинусПроизведение
\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2} (26) \cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2} (27) \sin^2\alpha \cos^2\alpha = \frac{1 - \cos 4\alpha}{8}
\sin^3\alpha = \frac{3 \sin\alpha - \sin 3\alpha}{4}
\cos^3\alpha = \frac{3 \cos\alpha + \cos 3\alpha}{4}
\sin^3\alpha \cos^3\alpha = \frac{3\sin 2\alpha - \sin 6\alpha}{32}
\sin^4\alpha = \frac{3 - 4 \cos 2\alpha + \cos 4\alpha}{8}
\cos^4\alpha = \frac{3 + 4 \cos 2\alpha + \cos 4\alpha}{8}
\sin^4\alpha \cos^4\alpha = \frac{3-4\cos 4\alpha + \cos 8\alpha}{128}
\sin^5\alpha = \frac{10 \sin\alpha - 5 \sin 3\alpha + \sin 5\alpha}{16}
\cos^5\alpha = \frac{10 \cos\alpha + 5 \cos 3\alpha + \cos 5\alpha}{16}
\sin^5\alpha \cos^5\alpha = \frac{10\sin 2\alpha - 5\sin 6\alpha + \sin 10\alpha}{512}

[править]Формулы преобразования произведений функций

Формулы преобразования произведений функций
\sin \alpha \sin \beta = \frac{ \cos ( \alpha - \beta) - \cos ( \alpha + \beta)}{2} (28)
\sin \alpha \cos \beta = \frac{ \sin ( \alpha + \beta) + \sin ( \alpha - \beta)}{2} (29)
\cos \alpha \cos \beta = \frac{ \cos ( \alpha + \beta) + \cos ( \alpha - \beta)}{2} (30)

[править]Формулы преобразования суммы функций

Формулы преобразования суммы функций
\sin \alpha \pm \sin \beta = 2 \sin \frac{ \alpha \pm \beta}{2} \cos \frac{ \alpha \mp \beta}{2} (31)
\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{ \alpha + \beta}{2} \cos \frac{ \alpha - \beta}{2} (32)
\cos \alpha - \cos \beta = - 2 \sin \frac{ \alpha + \beta}{2} \sin \frac{ \alpha - \beta}{2} (33)
\operatorname{tg} \alpha \pm \operatorname{tg} \beta = \frac{ \sin ( \alpha \pm \beta)}{ \cos \alpha \cos \beta} (34)
\operatorname{ctg} \alpha \pm \operatorname{ctg} \beta = \frac{ \sin ( \beta \pm \alpha)}{ \sin \alpha \sin \beta} (35)

[править]Решение простейших тригонометрических уравнений

  • sin x = a.
Если | a | > 1 — вещественных решений нет.
Если |a| \leqslant 1 — решением является число вида x=(-1)^n \arcsin a + \pi n;\ n \in \mathbb Z.
  • cos x = a.
Если | a | > 1 — решений нет.
Если |a| \leqslant 1 — решением является число вида x=\pm \arccos a + 2 \pi n;\ n \in \mathbb Z.
  • \operatorname{tg}\, x = a.
Решением является число вида x=\operatorname{arctg}\, a + \pi n;\ n \in \mathbb Z.
  • \operatorname{ctg}\, x = a.
Решением является число вида x=\operatorname{arcctg}\, a + \pi n;\ n \in \mathbb Z.

[править]Универсальная тригонометрическая подстановка

Тождества имеют смысл, только когда существуют обе части (то есть при \alpha\neq \pi +2 \pi n).

  • \sin\alpha = \frac{2 \,{\operatorname{tg}}\, \frac {\alpha}{2}} {1 + \operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}}
  • \cos\alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^{2}\frac{\alpha}{2}}
  • \operatorname{tg}\, \alpha = \frac{2\,{\operatorname{tg}}\, \frac {\alpha}{2}} {1-\operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}}

[править]Вспомогательный аргумент (метод Юниса)

a \sin x \pm b \cos x = \sqrt{a^2 + b^2} \sin (x \pm \arcsin{\frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}})

надо учитывать что а>0

a \cos x \pm b \sin x = \sqrt{a^2 + b^2} \cos (x \mp \arccos{\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}})

надо учитывать что b>0

[править]Представление тригонометрических функций в комплексной форме

Основная статья: Формула Эйлера

Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного числа x выполнено следующее равенство:

~e^{ix}=\cos x+i\sin x,

где e — основание натурального логарифма,

i — мнимая единица.

При помощи формулы Эйлера можно определить функции sinx и cos x следующим образом:

\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i},
\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}.

Откуда:

\operatorname{tg}\, x = \frac{i(e^{-ix}-e^{ix})}{e^{ix}+e^{-ix}}
\operatorname{ctg}\, x = \frac{i(e^{ix}+e^{-ix})}{e^{ix}-e^{-ix}}
Создать бесплатный сайт с uCoz