Функция / угол в рад.	π/2 – α	π/2 + α	π – α	π + α	3π/2 – α	3π/2 + α	2π – α	2π + α
sin	cos α	cos α	sin α	– sin α	– cos α	– cos α	– sin α	sin α
cos	sin α	– sin α	– cos α	– cos α	– sin α	sin α	cos α	cos α
tg	ctg α	– ctg α	– tg α	tg α	ctg α	– ctg α	– tg α	tg α
ctg	tg α	– tg α	– ctg α	ctg α	tg α	– tg α	– ctg α	ctg α
Функция / угол в °	90° – α	90° + α	180° – α	180° + α	270° – α	270° + α	360° – α	360° + α

Формулы сложения для тригонометрических функций

cos(α + β) = cos α cos β – sin α sin β
Чтобы получить эту формулу рассмотрим единичный тригонометрическую окружность с двумя радиус векторами OA и OB, соответствующими углам α и β.

По определению тригонометрических функций координаты векторов: ОА (cos α, sin α) и ОВ (cos β, sin β). Вычислим скалярное произведение этих векторов: ОА × ОВ = |ОА| × |ОВ| × cos (α+β) = cos (α+β)

Вычислим скалярное прозведение векторов через координаты: ОА × ОВ = cos α cos β – sin α sin β. Так получается искомая формула: cos(α + β) = cos α cos β – sin α sin β

cos(α – β) = cos α cos β + sin α sin β
Чтобы получить эту формулу нужно в предыдущей формуле заменить β на –β.

sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
Эта формула получается через использование формул приведения в предыдущей формуле.

sin(α – β) = sin α cos β – cos α sin β
Эта формула получается через замену β на –β в предыдущей формуле.

Для любых углов α и β таких, что α ≠ π/2 + πk, β ≠ π/2 + πn, α + β ≠ π/2 + πm (k, n, m принадлежат множеству Z), справедливо:

tg(α + β) = (tg α + tg β)/(1 – tg α tg β)
Эта формула получается через вычисления частного sin(α + β) и cos(α + β)

Для любых углов α и β таких, что α ≠ π/2 + πk, β ≠ π/2 + πn, α – β ≠ π/2 + πm (k, n, m принадлежат множеству Z), справедливо:

tg(α – β) = (tg α – tg β)/(1 + tg α tg β)
Эта формула получается через вычисления частного sin(α – β) и cos(α – β)

Для любых углов α и β таких, что α ≠ πk, β ≠ πn, α + β ≠ πm (k, n, m принадлежат множеству Z), справедливо:

ctg(α + β) = (ctg α ctg β – 1)/(ctg β + ctg α)
Эта формула получается через вычисления частного cos(α + β) и sin(α + β)

Для любых углов α и β таких, что α ≠ πk, β ≠ πn, α – β ≠ πm (k, n, m принадлежат множеству Z), справедливо:

ctg(α – β) = (ctg α ctg β + 1)/(ctg β – ctg α)
Эта формула получается через вычисления частного cos(α – β) и sin(α – β)

Вся информация с других сайтов... и не проверена...

Тригонометрические формулы

Тригонометрические функции

Знаки тригонометрических функций

Некоторые значения тригонометрических функций

Формулы приведения

Основные тригонометрические тождества

Выражение тригонометрических функций через одну из них того же аргумента

(выбор знака перед корнем зависит от того, в какой четверти находится угол )

Через :

Формулы сложения

(в последних двух формулах и соответственно );

(в последних двух формулах и соответственно ).

Преобразование суммы тригонометрических функций

где - угол, для которого в частности,

Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму

Тригонометрические функции двойного и тройного аргумента

Тригонометрические функции половинного аргумента

(выбор знака зависит от того, в какой четверти находится угол )

Выражение тригонометрической функции через тангенс половинного аргумента

Преобразование степеней синуса и косинуса

C Википедии

Основные тригонометрические формулы

Формула	Допустимые значения аргумента	Номер
$~ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$	$\forall \alpha$	(1)
$\operatorname{tg}^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\cos^2 \alpha} = \operatorname{sec}^2 \alpha$	$\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb Z$	(2)
$\operatorname{ctg}^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\sin^2 \alpha} = \operatorname{cosec}^2 \alpha$	$\alpha \neq \pi n, n \in \mathbb Z$	(3)

Формула (1) является следствием теоремы Пифагора. Формулы (2) и (3) получаются из формулы (1) делением на $~ \cos^2 \alpha$ и $~ \sin^2 \alpha$ соответственно.

[править]Формулы сложения аргументов

Формулы сложения аргументов
$\sin \left( \alpha \pm \beta \right) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$	(5)
$\cos \left( \alpha \pm \beta \right) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$	(6)
$\operatorname{tg} \left( \alpha \pm \beta \right) = \frac{ \operatorname{tg} \alpha \pm \operatorname{tg} \beta}{1 \mp \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg}\beta}$	(7)
$\operatorname{ctg} \left( \alpha \pm \beta \right) = \frac{ \operatorname{ctg} \alpha \operatorname{ctg} \beta \mp 1}{\operatorname{ctg} \beta \pm \operatorname{ctg}\alpha}$	(8)

Формула (7) получается при делении (5) на (6). А формула (8) — при делении (6) на (5)

Вывод формул [показать]

[править]Формулы двойного угла

Формулы двойного угла выводятся из формул (5), (6) , (7) и (8), если принять, что угол β равен углу α:

Формулы двойного угла
$\operatorname{sin} 2 \alpha = 2 {\sin \alpha}{\cos \alpha}$	(23)
$\operatorname{cos} 2 \alpha = {\cos^2 \alpha} - {\sin^2 \alpha}$ $\operatorname{cos} 2 \alpha = 2 {\cos^2 \alpha} - 1 = 1 - 2 {\sin^2 \alpha}$	(24)
$\operatorname{tg} 2 \alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}$	(25)
$\operatorname{ctg} 2 \alpha = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{2 \operatorname{ctg} \alpha}$

Примечания [показать]

[править]Формулы тройного угла

Формулы тройного угла
$\sin 3\alpha = 3 \sin \alpha - 4 \sin^3\alpha \,$
$\cos 3\alpha = 4 \cos^3\alpha - 3 \cos \alpha \,$
$\operatorname{tg} 3\alpha = \frac{3 \operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}^3\alpha}{1 - 3 \operatorname{tg}^2\alpha}$
$\operatorname{ctg} 3\alpha = \frac{3 \operatorname{ctg}\alpha - \operatorname{ctg}^3\alpha}{1 - 3 \operatorname{ctg}^2\alpha}$

Примечания [показать]

[править]Формулы понижения степени

Формулы понижения степени выводятся из формул (24):

Синус		Косинус		Произведение
$\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$	(26)	$\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$	(27)	$\sin^2\alpha \cos^2\alpha = \frac{1 - \cos 4\alpha}{8}$
$\sin^3\alpha = \frac{3 \sin\alpha - \sin 3\alpha}{4}$		$\cos^3\alpha = \frac{3 \cos\alpha + \cos 3\alpha}{4}$		$\sin^3\alpha \cos^3\alpha = \frac{3\sin 2\alpha - \sin 6\alpha}{32}$
$\sin^4\alpha = \frac{3 - 4 \cos 2\alpha + \cos 4\alpha}{8}$		$\cos^4\alpha = \frac{3 + 4 \cos 2\alpha + \cos 4\alpha}{8}$		$\sin^4\alpha \cos^4\alpha = \frac{3-4\cos 4\alpha + \cos 8\alpha}{128}$
$\sin^5\alpha = \frac{10 \sin\alpha - 5 \sin 3\alpha + \sin 5\alpha}{16}$		$\cos^5\alpha = \frac{10 \cos\alpha + 5 \cos 3\alpha + \cos 5\alpha}{16}$		$\sin^5\alpha \cos^5\alpha = \frac{10\sin 2\alpha - 5\sin 6\alpha + \sin 10\alpha}{512}$

[править]Формулы преобразования произведений функций

Формулы преобразования произведений функций
$\sin \alpha \sin \beta = \frac{ \cos ( \alpha - \beta) - \cos ( \alpha + \beta)}{2}$	(28)
$\sin \alpha \cos \beta = \frac{ \sin ( \alpha + \beta) + \sin ( \alpha - \beta)}{2}$	(29)
$\cos \alpha \cos \beta = \frac{ \cos ( \alpha + \beta) + \cos ( \alpha - \beta)}{2}$	(30)

Вывод формул преобразования произведений функций [показать]

[править]Формулы преобразования суммы функций

Формулы преобразования суммы функций
$\sin \alpha \pm \sin \beta = 2 \sin \frac{ \alpha \pm \beta}{2} \cos \frac{ \alpha \mp \beta}{2}$	(31)
$\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{ \alpha + \beta}{2} \cos \frac{ \alpha - \beta}{2}$	(32)
$\cos \alpha - \cos \beta = - 2 \sin \frac{ \alpha + \beta}{2} \sin \frac{ \alpha - \beta}{2}$	(33)
$\operatorname{tg} \alpha \pm \operatorname{tg} \beta = \frac{ \sin ( \alpha \pm \beta)}{ \cos \alpha \cos \beta}$	(34)
$\operatorname{ctg} \alpha \pm \operatorname{ctg} \beta = \frac{ \sin ( \beta \pm \alpha)}{ \sin \alpha \sin \beta}$	(35)

Вывод формул преобразования суммы функций [показать]

[править]Решение простейших тригонометрических уравнений

$sin x = a .$

Если

| a | > 1

— вещественных решений нет.

Если $|a| \leqslant 1$ — решением является число вида $x=(-1)^n \arcsin a + \pi n;\ n \in \mathbb Z.$

$cos x = a$ .

Если

| a | > 1

— решений нет.

Если $|a| \leqslant 1$ — решением является число вида $x=\pm \arccos a + 2 \pi n;\ n \in \mathbb Z.$

$\operatorname{tg}\, x = a.$

Решением является число вида $x=\operatorname{arctg}\, a + \pi n;\ n \in \mathbb Z.$

$\operatorname{ctg}\, x = a.$

Решением является число вида $x=\operatorname{arcctg}\, a + \pi n;\ n \in \mathbb Z.$

[править]Универсальная тригонометрическая подстановка

Тождества имеют смысл, только когда существуют обе части (то есть при $\alpha\neq \pi +2 \pi n$ ).

$\sin\alpha = \frac{2 \,{\operatorname{tg}}\, \frac {\alpha}{2}} {1 + \operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}}$

$\cos\alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^{2}\frac{\alpha}{2}}$

$\operatorname{tg}\, \alpha = \frac{2\,{\operatorname{tg}}\, \frac {\alpha}{2}} {1-\operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}}$

[править]Вспомогательный аргумент (метод Юниса)

$a \sin x \pm b \cos x = \sqrt{a^2 + b^2} \sin (x \pm \arcsin{\frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}})$

надо учитывать что а>0

$a \cos x \pm b \sin x = \sqrt{a^2 + b^2} \cos (x \mp \arccos{\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}})$

надо учитывать что b>0

[править]Представление тригонометрических функций в комплексной форме

Основная статья: Формула Эйлера

Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного числа $x$ выполнено следующее равенство:

$~e^{ix}=\cos x+i\sin x,$

где $e$ — Продолжение »

Создать бесплатный сайт с uCoz