Нечётные и чётные функции

Нечётные и чётные функции — функции, графики которых обладают симметрией относительно изменения знака аргумента. Это понятие важно во многих областях математического анализа, таких как теория степенных рядов и рядов Фурье. Такое название возникло как обобщение чётности степенных функций: функция f(x) = xⁿ чётна тогда и только тогда, когда n чётно, и нечётна тогда и только тогда, когда n нечётно.

f(x) = x — пример нечётной функции.

f(x) = x² — пример чётной функции.

f(x) = x³, нечётная

f(x) = x³ + 1 ни чётная, ни нечётная.

Другие определения:

• Нечётная функция — функция, меняющая знак при изменении знака независимого переменного (симметричная относительно центра координат).
• Чётная функция — функция, не изменяющая своего значения при изменении знака независимого переменного (симметричная относительно оси ординат).

[править]Определения

Определения вводятся для любой симметричной относительно нуля области определения , например, отрезка или интервала.

• Функция f называется чётной, если справедливо равенство

• Функция  называется нечётной, если справедливо равенство

• Если не выполняется ни одно из этих равенств, то функция называется функцией общего вида.

[править]Свойства

• График нечётной функции симметричен относительно начала координат O.
• График чётной функции симметричен относительно оси ординат Oy.
• Произвольная функция  может быть единственным образом представлена в виде суммы нечётной и чётной функций:

f(x) = g(x) + h(x),

где

• Функция  — единственная функция, одновременно являющаяся нечётной и чётной.
• Сумма, разность и вообще любая линейная комбинация чётных функций чётна, а нечётных — нечётна.
• Функция, обратная чётной, чётна, а нечётной — нечётна.
• Произведение двух функций одной чётности чётно.
• Произведение двух функций разной чётности нечётно.
• Композиция двух нечётных функций нечётна.
• Композиция чётной функции с чётной/нечётной чётна.
• Композиция любой функции с чётной чётна (но не наоборот!).
• Производная чётной функции нечётна, а нечётной — чётна.
  • То же верно про производную третьего, пятого и вообще любого нечётного порядка.
• Производная чётного порядка имеет ту же чётность, что и первоначальная функция.

[править]Примеры

[править]Нечётные функции

• Нечётная степень  где  — произвольное целое число.
• Синус .
• Тангенс .

[править]Чётные функции

• Чётная степень  где  — произвольное целое число.
• Косинус .
• Абсолютное величина (модуль) f(x) = | x | .

[править]Вариации и обобщения

• Понятие чётности и нечётности функций естественно обобщаются на случай отображений между векторными пространствами.